МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Министерство образования и науки Пермского края
Управление образования администрации Гайнского муниципального
округа
МБОУ "Сергеевская СОШ"
РАССМОТРЕНО
СОГЛАСОВАНО
УТВЕРЖДЕНО
на педагогическом
совете
заместитель директора
по УВР
Директор
________________________
Самкова О.В.
Голикова И.В. Приказ № 203 от «29»
августа 2025 г.
Приказ № 203 от «29»
августа 2025 г.
________________________ ________________________
Протокол № 1 от «29»
августа 2025 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(ID 5232232)
учебного курса «Вероятность и статистика»
для обучающихся 7-9 классов
Сергеевский, 2025
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают
всё большую значимость, как с точки зрения практических приложений, так
и их роли в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число
профессий, при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка
в области вероятности и статистики, такая подготовка важна для
продолжения образования и для успешной профессиональной карьеры.
Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у
него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях недостатка
или избытка информации необходимо в том числе хорошо сформированное
вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у
обучающихся функциональную грамотность, включающую в себя в качестве
неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически
анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать
вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей,
производить простейшие вероятностные расчёты.
Знакомство в учебном курсе с основными принципами сбора, анализа и
представления данных из различных сфер жизни общества и государства
приобщает обучающихся к общественным интересам. Изучение основ
комбинаторики развивает навыки организации перебора и подсчёта числа
вариантов, в том числе в прикладных задачах. Знакомство с основами теории
графов создаёт математический фундамент для формирования компетенций в
области информатики и цифровых технологий. При изучении статистики и
вероятности обогащаются представления обучающихся о современной
картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли
статистики как источника социально значимой информации и закладываются
основы вероятностного мышления.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного
курса «Вероятность и статистика» основного общего образования выделены
следующие содержательно-методические линии: «Представление данных и
описательная статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики»,
«Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика»
служит основой для формирования навыков работы с информацией: от
чтения и интерпретации информации, представленной в таблицах, на
диаграммах и графиках, до сбора, представления и анализа данных с
использованием статистических характеристик средних и рассеивания.
Работая с данными, обучающиеся учатся считывать и интерпретировать
данные, выдвигать, аргументировать и критиковать простейшие гипотезы,
размышлять над факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их
влияние на рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование
закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для
изучения теории вероятностей. Большое значение имеют практические
задания, в частности опыты с классическими вероятностными моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного
события. При изучении учебного курса обучающиеся знакомятся с
простейшими методами вычисления вероятностей в случайных
экспериментах
с
равновозможными
элементарными
исходами,
вероятностными законами, позволяющими ставить и решать более сложные
задачи. В учебный курс входят начальные представления о случайных
величинах и их числовых характеристиках.
В рамках учебного курса осуществляется знакомство обучающихся с
множествами и основными операциями над множествами, рассматриваются
примеры применения для решения задач, а также использования в других
математических курсах и учебных предметах.
В 7–9 классах изучается учебный курс «Вероятность и статистика», в
который входят разделы: «Представление данных и описательная
статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики», «Введение в
теорию графов».
На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» отводится 102
часа: в 7 классе – 34 часа (1 час в неделю), в 8 классе – 34 часа (1 час в
неделю), в 9 классе – 34 часа (1 час в неделю).
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
7 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и
круговых). Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из
диаграмм и таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и
частота. Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе
и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная
степень вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в
графах. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном
графе. Решение задач с помощью графов.
8 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Множество, элемент множества, подмножество. Операции над
множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства операций
над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное,
включения. Использование графического представления множеств для
описания реальных процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение
числовых наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события.
Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными
событиями. Случайный выбор. Связь между маловероятными и практически
достоверными событиями в природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование
висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило
умножения. Решение задач с помощью графов.
Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения
вероятностей. Условная вероятность. Правило умножения. Независимые
события. Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на
нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента,
диаграмм Эйлера.
9 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков,
интерпретация данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по
реальным данным.
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха.
Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний
Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое
ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как
теоретического среднего значения величины. Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины «число успехов в серии испытаний
Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью
частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.
ПЛАНИРУЕМЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ
ПРОГРАММЫ
УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» НА
УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного курса
«Вероятность и статистика» характеризуются:
1) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской
математики, ценностным отношением к достижениям российских
математиков и российской математической школы, к использованию этих
достижений в других науках и прикладных сферах;
2) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его
прав, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например,
выборы, опросы), готовностью к обсуждению этических проблем, связанных
с практическим применением достижений науки, осознанием важности
морально-этических принципов в деятельности учёного;
3) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач
математической направленности, осознанием важности математического
образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной
деятельности и развитием необходимых умений, осознанным выбором и
построением индивидуальной траектории образования и жизненных планов с
учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию
математических объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть
математические закономерности в искусстве;
5) ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных
представлений об основных закономерностях развития человека, природы и
общества, пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации,
овладением языком математики и математической культурой как средством
познания мира, овладением простейшими навыками исследовательской
деятельности;
6) физическое воспитание, формирование культуры здоровья и
эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего
здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая
активность), сформированностью навыка рефлексии, признанием своего
права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач
в области сохранности окружающей среды, планирования поступков и
оценки их возможных последствий для окружающей среды, осознанием
глобального характера экологических проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и природной
среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению
уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе
умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности
новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе
формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе
ранее неизвестных, осознавать дефициты собственных знаний и
компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать
стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать
принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и
последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак
классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие,
условные;
выявлять
математические
закономерности,
взаимосвязи
и
противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях,
предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), проводить самостоятельно несложные доказательства
математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить
примеры и контрпримеры, обосновывать собственные рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему,
самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать
гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить по самостоятельно составленному плану несложный
эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей
математического объекта, зависимостей объектов между собой;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять недостаточность и избыточность информации, данных,
необходимых для решения задачи;
выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать
информацию различных видов и форм представления;
выбирать форму представления информации и иллюстрировать
решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их
комбинациями;
оценивать надёжность информации по критериям, предложенным
учителем или сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями
и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения
в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения
задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять
результаты
решения
задачи,
эксперимента,
исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат выступления
с учётом задач презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных математических задач;
принимать цель совместной деятельности, планировать организацию
совместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких
людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен
мнениями, мозговые штурмы и другие), выполнять свою часть работы
и координировать свои действия с другими членами команды,
оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его
часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и
собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата
решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и
условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели,
находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 7 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,
представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые
(столбчатые) и круговые) по массивам значений.
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Использовать для описания данных статистические характеристики:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения,
размах.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен,
физических величин, антропометрических данных, иметь представление о
статистической устойчивости.
К концу обучения в 8 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде
таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм,
графиков.
Описывать данные с помощью статистических показателей: средних
значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение).
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе
по результатам измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности
элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями.
Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента,
диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Оперировать понятиями: множество, подмножество, выполнять
операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение,
перечислять элементы множеств, применять свойства множеств.
Использовать графическое представление множеств и связей между
ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач из
других учебных предметов и курсов.
К концу обучения в 9 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в
различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять
данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с
использованием комбинаторных правил и методов.
Использовать описательные характеристики для массивов числовых
данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь
результатами проведённых измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том
числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях
испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайной величине и о распределении
вероятностей.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в
природе и обществе.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7 КЛАСС
№ п/п
Наименование разделов и тем
программы
Количество часов
Всего
Контрольные
работы
Практические
работы
1
Представление данных
7
2
2
Описательная статистика
8
1
3
Случайная изменчивость
6
1
4
Введение в теорию графов
4
5
Вероятность и частота случайного
события
4
6
Обобщение, систематизация знаний
5
2
34
2
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc
5
8 КЛАСС
№ п/п
Наименование разделов и тем
программы
Количество часов
Всего
Контрольные
работы
Библиотека ЦОК
1
Повторение курса 7 класса
4
2
Описательная статистика. Рассеивание
данных
4
3
Множества
4
4
Вероятность случайного события
6
5
Введение в теорию графов
4
6
Случайные события
8
7
Обобщение, систематизация знаний
4
2
34
2
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
Практические
работы
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
https://m.edsoo.ru/7f417fb2
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f417fb2
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f417fb2
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f417fb2
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f417fb2
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f417fb2
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f417fb2
1
9 КЛАСС
№ п/п
Наименование разделов и тем
программы
Количество часов
Всего
Контрольные
работы
Библиотека ЦОК
1
Повторение курса 8 класса
4
2
Элементы комбинаторики
4
3
Геометрическая вероятность
4
4
Испытания Бернулли
6
5
Случайная величина
6
6
Обобщение, контроль
10
1
34
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
Практические
работы
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
https://m.edsoo.ru/7f41a302
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f41a302
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f41a302
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f41a302
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f41a302
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f41a302
2
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7 КЛАСС
Количество часов
№ п/п
Тема урока
Всего
1
Представление данных в
таблицах
1
2
Практические вычисления по
табличным данным
1
3
Извлечение и интерпретация
табличных данных
1
4
Практическая работа "Таблицы"
1
5
Графическое представление
данных в виде круговых,
столбиковых (столбчатых)
диаграмм
1
6
Чтение и построение диаграмм.
Примеры демографических
диаграмм
1
7
Практическая работа
"Диаграммы"
1
8
Числовые наборы. Среднее
арифметическое
1
9
Числовые наборы. Среднее
арифметическое
1
10
Медиана числового набора.
1
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ec1f8
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ec324
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ec78e
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ed18e
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ed602
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ed72e
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ed846
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ed846
Библиотека ЦОК
Устойчивость медианы
https://m.edsoo.ru/863edb3e
11
Медиана числового набора.
Устойчивость медианы
1
12
Практическая работа "Средние
значения"
1
13
Наибольшее и наименьшее
значения числового набора.
Размах
1
14
Наибольшее и наименьшее
значения числового набора.
Размах
1
15
Наибольшее и наименьшее
значения числового набора.
Размах
1
16
Контрольная работа по темам
"Представление данных.
Описательная статистика"
1
17
Случайная изменчивость
(примеры)
1
18
Частота значений в массиве
данных
1
19
Группировка
1
20
Гистограммы
1
21
Гистограммы
1
22
Практическая работа "Случайная
изменчивость"
1
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863edc6a
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ee07a
Библиотека ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/863ee390
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ee4bc
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ee69c
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ee9d0
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863eee1c
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863eecc8
23
Граф, вершина, ребро.
Представление задачи с помощью
графа
1
24
Степень (валентность) вершины.
Число рёбер и суммарная степень
вершин. Цепь и цикл
1
25
Цепь и цикл. Путь в графе.
Представление о связности графа
1
26
Представление об
ориентированных графах
1
27
Случайный опыт и случайное
событие
1
28
Вероятность и частота события.
Роль маловероятных и
практически достоверных
событий в природе и в обществе
1
29
Монета и игральная кость в
теории вероятностей
1
30
Практическая работа "Частота
выпадения орла"
1
31
Контрольная работа по темам
"Случайная изменчивость.
Графы. Вероятность случайного
события"
1
32
Повторение, обобщение.
Представление данных
1
33
Повторение, обобщение.
Описательная статистика
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863eef52
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ef0ba
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ef236
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ef3b2
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ef4d4
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ef646
1
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863ef8a8
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f0186
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863efa24
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863efbaa
34
Повторение, обобщение.
Вероятность случайного события
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
Библиотека ЦОК
1
34
https://m.edsoo.ru/863efec0
2
5
8 КЛАСС
№
п/п
Количество часов
Тема урока
Всего
1
Представление данных.
Описательная статистика
1
2
Случайная изменчивость. Средние
числового набора
1
3
Случайные события. Вероятности и
частоты
1
4
Классические модели теории
вероятностей: монета и игральная
кость
1
5
Отклонения
1
6
Дисперсия числового набора
1
7
Стандартное отклонение числового
набора
1
8
Диаграммы рассеивания
1
9
Множество, подмножество
1
10
Операции над множествами:
объединение, пересечение,
дополнение
1
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f029e
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f03fc
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f0578
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f076c
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f0a50
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f0a50
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f0bfe
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f0ea6
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f1180
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f143c
11
Свойства операций над
множествами: переместительное,
сочетательное, распределительное,
включения
1
12
Графическое представление
множеств
1
13
Контрольная работа по темам
"Статистика. Множества"
1
14
Элементарные события. Случайные
события
1
15
Благоприятствующие
элементарные события.
Вероятности событий
1
16
Благоприятствующие
элементарные события.
Вероятности событий
1
17
Опыты с равновозможными
элементарными событиями.
Случайный выбор
1
18
Опыты с равновозможными
элементарными событиями.
Случайный выбор
1
19
Практическая работа "Опыты с
равновозможными элементарными
событиями"
1
20
Дерево
1
21
Свойства дерева: единственность
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f1784
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f198c
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f1dec
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f1dec
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f1f72
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f21ca
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f21ca
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f235a
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f2a4e
Библиотека ЦОК
пути, существование висячей
вершины, связь между числом
вершин и числом рёбер
https://m.edsoo.ru/863f2bac
22
Правило умножения
1
23
Правило умножения
1
24
Противоположное событие
1
25
Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий
1
26
Несовместные события. Формула
сложения вероятностей
1
27
Несовместные события. Формула
сложения вероятностей
1
28
Правило умножения вероятностей.
Условная вероятность.
Независимые события
1
29
Правило умножения вероятностей.
Условная вероятность.
Независимые события
1
30
Представление случайного
эксперимента в виде дерева
1
31
Представление случайного
эксперимента в виде дерева
1
32
Повторение, обобщение.
Представление данных.
Описательная статистика
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f2cd8
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f2e36
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f2f8a
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f3214
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f3372
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f3764
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f38ae
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f3b06
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f3cbe
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f3f20
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f4128
Библиотека ЦОК
33
Повторение, обобщение. Графы
1
34
Контрольная работа по темам
"Случайные события. Вероятность.
Графы"
1
1
34
2
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
https://m.edsoo.ru/863f4312
1
9 КЛАСС
Количество часов
№ п/п
Тема урока
Всего
1
Представление данных
1
2
Описательная статистика
1
3
Операции над событиями
1
4
Независимость событий
1
5
Комбинаторное правило
умножения
1
6
Перестановки. Факториал.
Сочетания и число сочетаний
1
7
Треугольник Паскаля
1
8
Практическая работа
"Вычисление вероятностей с
использованием комбинаторных
функций электронных таблиц"
1
9
Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из
фигуры на плоскости, из отрезка,
из дуги окружности
1
10
Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из
1
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f47ea
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f47ea
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f4e16
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f4e16
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f5014
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f5208
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f5884
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f5a50
фигуры на плоскости, из отрезка,
из дуги окружности
11
Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из
фигуры на плоскости, из отрезка,
из дуги окружности
1
12
Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из
фигуры на плоскости, из отрезка,
из дуги окружности
1
13
Испытание. Успех и неудача.
Серия испытаний до первого
успеха
1
14
Испытание. Успех и неудача.
Серия испытаний до первого
успеха
1
15
Испытание. Успех и неудача.
Серия испытаний до первого
успеха
1
16
Испытания Бернулли.
Вероятности событий в серии
испытаний Бернулли
1
17
Испытания Бернулли.
Вероятности событий в серии
испытаний Бернулли
1
18
Практическая работа "Испытания
Бернулли"
1
19
Случайная величина и
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f5bfe
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f5e10
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f6162
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f6356
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f64d2
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f6680
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f67de
Библиотека ЦОК
распределение вероятностей
https://m.edsoo.ru/863f6b44
20
Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины
1
21
Примеры математического
ожидания как теоретического
среднего значения величины
1
22
Понятие о законе больших чисел
1
23
Измерение вероятностей с
помощью частот
1
24
Применение закона больших
чисел
1
25
Обобщение, систематизация
знаний. Представление данных
1
26
Обобщение, систематизация
знаний. Описательная статистика
1
27
Обобщение, систематизация
знаний. Представление данных.
Описательная статистика
1
28
Обобщение, систематизация
знаний. Вероятность случайного
события
1
29
Обобщение, систематизация
знаний. Вероятность случайного
события. Элементы
комбинаторики
1
30
Обобщение, систематизация
знаний. Элементы
1
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f6da6
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f6f86
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f72c4
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f7652
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f7116
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f783c
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f893a
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f7a4e
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f7c9c
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f7e54
комбинаторики
31
Обобщение, систематизация
знаний. Элементы
комбинаторики. Случайные
величины и распределения
1
32
Обобщение, систематизация
знаний. Случайные величины и
распределения
1
33
Итоговая контрольная работа
1
34
Обобщение, систематизация
знаний
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
34
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f8408
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/863f861a
Библиотека ЦОК
1
1
https://m.edsoo.ru/863f8b56
2
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
• Математика. Вероятность и статистика: 7-9-е классы: базовый уровень:
учебник: в 2 частях, 7-9 классы/ Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под ред.
Ященко И.В., Акционерное общество «Издательство «Просвещение»
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
1. Математика. Вероятность и статистика: 7-9-е классы: базовый уровень:
учебник: в 2 частях // И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко; под ред. И.В. Ященко –
М.: Просвещение, 2023.
2. Математическая вертикаль. Теория вероятностей и статистика 7 - 9. //И.Р.
Высоцкий, А.А. Макаров, Ю.Н. Тюрин, И.В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2020.
3. Математика. Универсальный многоуровневый сборник задач. 7-9 классы.
Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. в 3 ч. ч. 3. Статистика.
Вероятность. Комбинаторика. Практические задачи /И.Р. Высоцкий, И.В.
Ященко. - М.: Просвещение, 2020.
4. Высоцкий И.Р. Дидактические материалы по теории вероятностей. 8-9
классы. - М.: МЦНМО, 2018. 5. Высоцкий И.Р. Кружок по теории
вероятностей. 8-9 классы. - М.: МЦНМО, 2017.
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ
ИНТЕРНЕТ
1. Сайт Лаборатории теории вероятностей и статистики МЦМНО
«Вероятность в школе». - Ресурс доступа: http://ptlab.mccme.ru/vertical
2. Сайт «Вероятность и статистика в школьном курсе математики: учебник,
методическое пособие для учителя и набор цифровых ресурсов, виртуальные
лаборатории для моделирования случайных опытов, событий и величин»
//Конкурс НФПК "Разработка Иновационных учебно-методических
комплексов (ИУМК) для системы общего образования". - Ресурс доступа:
http://schoolcollection.edu.ru/catalog/rubr/5ececba0-3192-11dd-bd110800200c9a66/107406/
3. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические
материалы. - Ресурс доступа: http://matem-109.ru/matem/teor_ver.htm
4. Лукичева Е.Ю., Захарова В.Ф. Программа внеурочной деятельности
«Математика для каждого»: для учащихся 8-9 классов. – Ресурс доступа:
https://disk.yandex.ru/i/x2nQgx6B4uveAQ
Оценочные средства по предмету
вероятность и статистика 7-9 классы
Целью проведения практических работ является приобретение компетенций
использования теоретических знаний при решении практических задач по теории
вероятностей и статистике
Кодификатор проверяемых элементов содержания и распределение заданий по позициям
кодификатора
Код
№
зада Проверяемые виды деятельности
ния
6.1
7.6
Уровень
сложност
и
задания
Максима
льный
балл за
задание
1
Извлекать информацию, представленную в
таблицах
Б
1
2
Извлекать информацию, представленную в
диаграммах и графиках
Б
1
3
Интерпретация и анализ, извлечённой
информации
Б
1
4
Выполнение арифметических действий, с
полученными числовыми данными
П
2
5
Определение процентов по диаграмме
П
2
Критерии оценивания.
-2 балла за задание выставляется, если, дано правильное решение задачи, подробная
аргументация своего решения, хорошее знание теоретических аспектов решения
- 1 балл за задание выставляется, если, правильное решение задачи, достаточная
аргументация своего решения, хорошее знание теоретических аспектов решения, но
допущены 2-3 неточности, но получен верный ответ
-0 баллов выставляется, если приведено неправильное решение задачи, отсутствие
необходимых знания теоретических аспектов решения
Полученные баллы за выполнение всех заданий суммируются. Суммарный балл
переводится в отметку по пятибалльной шкале с учётом рекомендуемой шкалы
перевода:
Отметка
«2»
«3»
«4»
«5»
Суммарный
балл
0-2 балла
3-4 балла
5-6 баллов
7 баллов
7 класс
Практическая работа №1 по теме «Диаграммы»
вариант 1
1. В таблице приведены площади некоторых материков и частей света.
Постройте столбиковую диаграмму, отражающую данные таблицы.
Название
Европа
Азия
Африка
Площадь
10
44
30
Северная
Америка
24
Южная
Америка
18
Австралия
Антарктида
8
14
2. На круговой диаграмме показано, как распределились учащиеся музыкальной
школы по классам игры на различных музыкальных иструментах.
скрипка
гитара
фортепиано
флейта
Используя диаграмму, ответьте на вопросы:
а) каким музыкальным инструментом занимаются учащиеся чаще всего?
Каким меньше всего?
б) найдите приближенно количество детей, занимающихся по классу гитары,
если в школе занимается 220 человек.
вариант 2
1. В таблице показано количество осадков, выпавших в течение недели (в
миллиметрах).
Постройте столбиковую диаграмму, отражающую данные таблицы.
День
Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота Воскресенье
недели
количество
20
14
4
60
82
68
54
2. На круговой диаграмме показано, как распределились дети, посещающие школу
искусств.
рисование
танцы
музыка
лепка
Используя диаграмму, ответьте на вопросы:
а) каким видом искусства занимаются дети чаще всего? Каким меньше всего?
б) найдите приближенно количество детей, занимающихся рисованием, если
в школе занимается 180 человек.
Практическая работа № 2 по теме «Средние значения»
вариант 1
1. Измерили массу 8 шоколадных батончиков и записали их массу:
33 г, 34 г, 35 г, 33 г, 38 г, 36 г, 40 г, 39 г.
а) расположите полученные значения по возрастанию.
б) найдите среднее значение массы.
2. Пользуясь результатами задачи 1, составьте таблицу отклонений показаний массы от
среднего значения. Сколько показаний меньше, чем среднее? Сколько показаний больше,
чем среднее?
3. Пользуясь результатами задачи 1, найдите медиану показаний массы батончиков.
Сколько показаний больше и сколько показаний меньше медианы?
вариант 2
1. В воду погрузили 8 термометров и записали их показания:
30º, 31º, 28º, 33º, 36º, 37º, 30º, 35º.
а) расположите полученные значения по возрастанию.
б) найдите среднее значение температуры.
2. Пользуясь результатами задачи 1, составьте таблицу отклонений показаний
термометров от среднего значения. Сколько показаний меньше, чем среднее? Сколько
показаний больше, чем среднее?
3. Пользуясь результатами задачи 1, найдите медиану показаний термометров. Сколько
показаний больше и сколько показаний меньше медианы?
Практическая работа №3 по теме «Таблицы»
вариант 1
1. В таблице представлены города России с числом жителей по данным переписи
населения
в 2002 году.
город
население,
город
население,
тыс. чел.
тыс. чел.
Волгоград
1 013
Нижний Новгород
1 311
Екатеринбург
1 293
Новосибирск
1 426
Казань
1 105
Ростов – на – Дону
1 070
Москва
10 358
Самара
1 158
Омск
1 134
Санкт – Петербург
4 669
Пермь
1 000
Челябинск
1 078
Уфа
1 042
Мурманск
1 147
По данным таблицы укажите:
а) наименее населенные города (менее 1 100 тыс. жителей);
б) города, в которых более 3 тыс. жителей;
в) общее количество жителей в указанных городах.
2. Ученики класса указали животных, которые живут у них дома. Получился
следующий список:
кошка, хомяки, кошка, кошка, рыбки, собака, ежик, собака, рыбки, кошка, черепаха,
птички, кошка, собака, рыбки, рыбки, хомяки, птички, собака, кошка, рыбки,
черепаха, собака, собака, ежик, черепаха, хомяки, птички, кошка, уж, черепаха,
морская свинка, кошка, морская свинка, собака, кошка.
Составьте таблицу подсчета и таблицу распределения учеников по животным.
вариант 2
1. В таблице представлены города России с числом жителей по данным переписи
населения в 1979 году.
город
население,
город
тыс. чел.
Волгоград
926
Нижний Новгород
Екатеринбург
1 210
Новосибирск
Казань
989
Ростов – на – Дону
Москва
8 057
Самара
Омск
1 016
Санкт – Петербург
Пермь
1 089
Челябинск
Уфа
977
Мурманск
По данным таблицы укажите:
а) наиболее населенные города (более 1 300 тыс. жителей);
б) города, в которых менее 1 тыс. жителей;
в) общее количество жителей в указанных городах.
население,
тыс. чел.
1 324
1 309
925
1 192
4 569
1 030
1 175
2. Ученики 7 класса указали предметы, которыми они увлекаются. Получился следующий
список:
литература, география, литература, литература, труд, математика, история, литература,
физика, русский язык, литература, математика, труд, труд, русский язык, математика,
труд, литература, физкультура, математика, биология, география, русский язык,
литература, музыка, история, физика, английский язык, математика, музыка,
английский язык, литература.
Составьте таблицу подсчета и таблицу распределения учеников по предметам.
Практическая работа №4 «Случайная изменчивость»
вариант 1
1. Колебания напряжения в бытовых электрических сетях
Приведены результаты 25 измерений напряжения (в вольтах) в бытовой сети. Все
измерения были сделаны в дневное время, в случайно (бессистемно) выбранные моменты
времени.
225 В, 227 В, 225 В, 228 В, 225 В,
228 В, 218 В, 217 В, 218 В, 220 В,
223 В, 225 В, 216 В, 222 В, 224 В,
220 В, 218 В, 221 В, 220 В, 216 В,
214 В, 219 В, 231 В, 228 В, 227 В.
Электрические приборы в России рассчитаны на напряжение 220 В. При небольших
отклонениях напряжения от 220 В они работают исправно, а при значительных
колебаниях напряжения могут прийти в негодность.
В России номинальное напряжение в бытовых сетях 220 В. Как вы видите, реальное
напряжение может отличаться от 220 В. Обычно напряжение либо немного выше этого
значения, либо ниже. Это зависит от дополнительно включенных электроприборов.
Моменты включения электроприборов является случайными и приводят к случайной
изменчивости напряжения.
1.Какое самое большое напряжение было зафиксировано в период наблюдения?
2.Какое самое маленькое напряжение было зафиксировано?
3. Каков размах значений напряжения?
4. Какова медиана напряжения?
5. Каково среднее значение напряжения?
Напряжение,
В
Абсолютная
частота
Относительная частота
214
21
6
21
7
21
8
21
9
22
0
22
1
22
2
22
3
22
4
22
5
22
7
22
8
1
1
25
∙ 100%
= 4%
6. Заполните таблицу частот:
2. Построить гистограмму частот:
Интервалы 2-5
5-8
8-11
11-14
14-17
17-20
Частота
35
64
55
21
10
15
частота
интервалы
Сделайте вывод.
23
1
вариант 2
1. На участке дороги поставили радар для определения скорости проезжающих
автомобилей. Были сделаны измерения:
132 км/ч, 136 км/ч, 123 км/ч, 68 км/ч, 83 км/ч,
68 км/ч, 94 км/ч, 86 км/ч, 108 км/ч, 117 км/ч,
128 км/ч, 125 км/ч, 54 км/ч, 117 км/ч, 56 км/ч,
86 км/ч, 56 км/ч, 86 км/ч,56 км/ч, 123 км/ч,
132 км/ч, 125 км/ч, 68 км/ч, 130 км/ч, 108 км/ч.
На загородных трассах максимальная разрешенная скорость движения для
легковых автомобилей составляет 90 км/ч. За превышение или занижение этого
показателя на водителя накладывают штраф. В 2023 году штрафы накладываются
за превышение разрешенной скорости на 20 км/ч и более, причем, если водитель,
наоборот, едет с заниженной скоростью, то штраф он получит вне зависимости от
показателя отклонения от нормы скорости движения.
а) Какая самая большая скорость была зафиксирована в период наблюдения?
б) Какая самая маленькая скорость была зафиксирована?
в) Каков размах значений скорости?
г) Какова медиана скорости?
д) Каково среднее значение скорости?
е) Заполните таблицу частот:
Скорость,
км/ч
Абсолютна
я частота
Относител
ьная частота
54
56
68
83
1
1
25
∙ 100%
= 4%
2. Построить гистограмму частот:
86
94
10
8
11
7
12
3
12
5
12
8
13
0
13
2
13
6
Интервалы 2-5
5-8
8-11
11-14
14-17
17-20
Частота
40
62
32
15
10
24
частота
интервалы
Сделайте вывод.
Практическая работа № 5 по теме «Частота выпадения орла»
1 этап.
Приготовьте монету. Чтобы определить, как часто при бросании монеты выпадает
орел, будем подбрасывать монету и фиксировать число выпадений орла. Если выпал орел
– ставьте черточку в первой строке, если решка – во второй строке. Бросьте монету 20 раз
и заполните таблицу 1 (воспользуйтесь символом |||| ).
Таблица 1
Сторона
Количество
Выпало
Частота
монеты
выпадений
Орел
Решка
Всего:
20
2 этап.
а) Заполните последний столбец таблицы 1, определив частоту выпадения орла по
формуле (все числа округлите до сотых):
количество выпадений орла
.
общее количество бросков
В данном эксперименте знаменатель во всех вычислениях равен 20 – общему числу
бросков, а в числитель подставьте числа, полученные в опыте.
частота
б) Предположите, какая теоретически должна быть частота выпадения орла при
бросании монеты? ____________ Почему? _________________________________________
_____________________________________________________________________________
в) Сравните свои экспериментально полученные результаты с предполагаемым: ____
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
г) Как можно найти частоту появления решки в данном эксперименте? (Укажите два
способа!) _____________________________________________________________________
Вывод. (Запишите вывод в тетрадь. Подсказка: Вывод пишется исходя из цели
работы.)
В выводе ответьте на вопросы 1) Зависит ли полученный результат от длины серии
эксперимента (количества бросков)? 2) Почему ваш результат может отличаться от 0,5?
8 КЛАСС
Практическая работа №1 "Опыты с равновозможными элементарными
событиями".
Вариант 1.
№1. Подбросьте кубик, посмотрите, какие события произойдут.
а) Начертите таблицу в тетради и результаты впишите в таблицу
Число выпавших очков на кубике в попытке
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Кубик
1
б) Посчитайте количество выпавших четных чисел и найдите частоту выпадения четного
числа очков в вашем эксперименте. Частотой появления события A в данной серии
испытаний называют отношение числа m наступлений данного случайного события в
данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется
P (A)=m/n.
в) Вычислите вероятность выпадения четного числа очков, используя классическое
определение вероятности.
Вероятность P(A) события А определяется по формуле
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n – число всех возможных
элементарных исходов.
г) Сравните результаты пунктов б и в и сделайте вывод.
№2. Подбросьте два кубика, посмотрите, какие события произойдут.
а) Начертите таблицу в тетради и результаты впишите в таблицу
Число выпавших очков на кубиках в попытке
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2 кубик
1 кубик
1
б) Определите, какие события являются случайными, какие достоверными, а какие
невозможными:
А = {на кубиках выпало одинаковое число очков}
В = {сумма очков на кубиках не превосходит 12}
С = {сумма очков на кубиках равна 11}
Д = {произведение очков на кубиках равно 11}
Вариант 2.
№1. №1. Подбросьте кубик, посмотрите, какие события произойдут.
а) Начертите таблицу в тетради и результаты впишите в таблицу
Число выпавших очков на кубике в попытке
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Кубик
1
б) Посчитайте количество выпавших нечетных чисел и найдите частоту выпадения
нечетного числа очков в вашем эксперименте. Частотой появления события A в данной
серии испытаний называют отношение числа m наступлений данного случайного
события в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется
P (A)=m/n.
в) Вычислите вероятность выпадения нечетного числа очков, используя классическое
определение вероятности.
Вероятность P(A) события А определяется по формуле
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n – число всех возможных
элементарных исходов.
г) Сравните результаты пунктов б и в и сделайте вывод.
№2. Подбросьте два кубика, посмотрите, какие события произойдут.
Начертите таблицу в тетради и результаты впишите в таблицу
Число выпавших очков на кубиках в попытке
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2 кубик
1 кубик
1
Определите: какие события являются случайными, какие достоверными, а какие
невозможными.
А = {на кубиках выпало разное число очков}
В = {сумма очков на кубике больше 1}
С = {сумма очков на кубиках равна 13}
Д = {произведение очков на кубиках равно 12}
№3. Монету бросают три раза.
а) Запишите перечислением всех возможных элементарных исходов.
б) Запишите перечислением элементарных исходов событие А «ни разу не выпали две
решки подряд».
Для орла и решки используйте обозначения О и Р.
в) Найдите вероятность события А «ни разу не выпали две решки подряд».
№4. Соревнования по фигурному катанию проходят 3 дня. Всего запланировано 50
выступлений: в первый день — 18 выступлений, остальные распределены поровну между
вторым и третьим днями. В соревнованиях участвует спортсмен М. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что спортсмен М. будет выступать
во второй день соревнований?
9 класс
Практическая работа №1 "Вычисление вероятностей с использованием
комбинаторных функций электронных таблиц"
Цель работы: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения
вероятности с использованием формул комбинаторики, развитие самостоятельной
мыслительной деятельности, вычислительных навыков, творческого мышления студентов.
Ход выполнения задания
1. Создать на рабочем столе папку (ФИ_класс_практическая работа №1)
2. Запустить программу для работы с электронными таблицами (Пуск-ПрограммыMicrosoft Office-Excel).
3. Сохранить файл в папке (Файл - Сохранить как...- рабочий столФИ_класс_практическая работа №1).
4. Переименовать «Лист1» в «Задание 1» (правой кнопкой мышки на ярлычке Листа 1,
выбрать «Перименовать»).
5. Добавить «Лист 2», «Лист 3», «Лист 4», «Лист 5» и переименовать в «Задание 2»,
«Задание 3» и «Задание 4», «Задание 5» соответственно.
6. Выполнить задания из раздела «Задания для самостоятельного выполнения».
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
ПЕРЕСТАНОВКИ. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь
порядком элементов, то есть могут быть получены из того же самого множества
перестановкой местами элементов, называются перестановками этого множества. Пример
типовой задачи на вычисление перестановок: вокруг стола рассаживают 7 человек.
Найти количество различных способов распраделения их за столом.
Вычисление перестановок можно выполнить с использованием функции
ПЕРЕСТ(n;n). Заметьте, что обапараметра у данной функции в данном случае будут
ссылаться на одну и ту же ячейку, так как количество элементов сохраняется. ИЛИ
Вычисление перестановок можно выполнить с использованием функции ФАКТ(n).
1. На соответствующем листе введите заголовок в ячейку А1 («Количество человек за
столом»), в ячейку А2 («Количество способов распределения»), в ячейку В1 – подставьте
значения, указанные в примере выше.
2. В ячейку В2 введите формулу для вычисления сочетаний: = ФАКТ(В1)
!!! Обратите внимание, что ячейки, в которых находится не просто текст, число, а именно
формула, позволяющая выводить динамическое содержимое в данную ячейку, начинается
обязательно со знака «=». Только в этом случае программа идентифицирует текст как
формулу и будет производить вычисления.
РАЗМЕЩЕНИЕ. Различные упорядоченные k-элементные подмножества множества из n
элементов называются размещениями из n элементов по k. Размещения отличаются друг
от друга либо элементами, либо их порядками следования. Пример типовой задачи на
вычисление размещений: в группе 9 девушек и 11 юношей. Для представительства
этой группе на форуме выбирают 3 человек, которых по присвоенным в процессе
выбора порядковым номерам выстраивают в ряд. Подсчитать количество рядов
кторые можно постоить.
Вычисление размещений средствами MS Excel можно реализовать с применением
функции ПЕРЕСТ(n;k), где n – число элементов исходного множества, а k – число
элементов выбранного подмножества.
1. На соответствующем листе введите заголовок в ячейку А1 («Количество девушек»), в
ячейку В2 («Количество юношей»), в ячейку С1 («Общее количество»), в ячейку D1
(«Количество человек в группе»), в ячейку Е1 («Количество рядов по порядковым
номерам»), в ячейки А2, В2, С2, D2– подставьте значения, указанные в примере выше.
2. В ячейку Е2 введите формулу для вычисления сочетаний: = ПЕРЕСТ (С2; D2).
СОЧЕТАНИЕ. Произвольное k-элементное подмножество данного множества из n
элементов называется сочетанием из N элементов по k. порядок элементов в сочетании не
существенен. Пример типовой задачи на сочетания: имеется 3 красные и 4 оранжевые
гвоздики. Букет составляют из 5 цветков. Сколько можно составить различных
букетов?
Число сочетаний можно вычислить с помощью функции ЧИСЛОКОМБ(n;k), которая
относится к математическим функциям.
ВЕРОЯТНОСТЬ. Если эксперимент заканчивается одним из n равновозможных исходов,
из которых т являются благоприятными для наступления данного события, то вероятность
этого события равна т/n. В ячейку С2 мы будем вводить число, соответствующее общему
количеству всех возможных исходов события, а в ячейку D2 – количество исходов,
благоприятствующих появлению интересующего исхода. Для вычисления вероятности
необходимо в ячейку Е2 ввести формулу, которая, по классическому определению
вероятности, будет подсчитывать и выводить в данную ячейку результат деления
благоприятствующего количества исходов на общее количество. Таким образом, формула
в данной ячейке должна быть следующая: =В1/А1
Пример типовой задачи на вероятность: в тираже лотереи «Спортлото» разыгрывались
6 случайных номеров из 49. Какова вероятность того, что в тираже лотереи
выиграют номера 1, 2, 3, 4, 5, 6?
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
ВАРИАНТ 1
1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми
беговых дорожках?
2. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории,
в которой стоит 20 одноместных столов?
3. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуются прочитать во время
каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
4. У вахтера в комнате доска с ключами. Всего 5 крючков, а на них 5 ключей. Доска упала
и ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и развесил их в случайном порядке. Какова
вероятность того, что каждый ключ висит на своем месте?
5. В ящике 4 красных и 2 жёлтых флажка. Из него наудачу извлекают 3 флажка. Какова
вероятность того, что все эти флажки красные?
ВАРИАНТ 2
1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
2. На страницах альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно
вложить в свободные места 4 фотографии?
3. Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать 3 краски для окрашивания шкатулки.
Сколькими способами можно сделать этот выбор?
4. Слово «АПЕЛЬСИН» написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы.
Девочка, играя, выложила буквы в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того,
что получилось слово «СПАНИЕЛЬ»?
5. В коробке 2 белых и 3 черных шаров. Из неё наудачу извлекают 2 шарика. Какова
вероятность того, что все эти шарики черные?
Практическая работа №2 «Испытания Бернулли»
Цель: формирование умений решать задачи на нахождение вероятности с
использованием формулы Бернулли.
Ход практической работы Повторим теоретический материал
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие А появится
в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли
Pn(m) = Cnk·pm·qn-m, где q = 1-p.
Рассмотрим образцы решения задач
Задача 1.
В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый
шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают.
Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же
во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем
P4(2) = C42·p2·q2=6 (2/3)2·(1/3)2 = 8/27 Ответ: 8/27
Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет
два раза?
Решение. При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность
не выпадения равна 1-р = 5/6.
Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли.
Рn(m)=Сnm pm(1-p)n-m, где
n=10, m=2
2
2
8
Р= С10 ·(1/6) ·(5/6) = 10!/ (8!*2!)* 58/610 = 45*58/610 ≈0,29.
Ответ: 0,29
Задача 3. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что
при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
Решение. Здесь p=0,4, q=0,6. Имеем:
P10(0) = q10, P10(1) = 10pq9, P10(2) = 45p2q8, P10(3) = 120p3q7.
Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна
Р = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) = q10+10pq9+45p2q8+120p3q7≈ 0,38
Ответ: 0,38
Задачи для самопроверки
Вариант 1
Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет 3 раза;
Задача 2. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка
выпадет 4 раза?
Задача 3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь
формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут
четыре стандартных.
Вариант 2
Задача 1 . Найти вероятность того, что событие А появится не менее трёх раз в пяти
испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4
Задача 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что
из четырёх посеянных семян взойдут не менее трёх?
Задача 3 В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди детей более трёх мальчиков.
Вероятность рождения мальчика равна 0,7?
Детский сад "Аленушка" и Детский сад "Горадзуль" 